求解一道矩阵证明题求证：若A是正交矩阵,则|A|^2=1,且当|A|=-1时-1是A的一个特征值；当|A|=1且A为奇数阶时1是A的一个特征值.（尤其是我不知道怎么证“|A|^2=1”）

胡德发回答：

　　A是正交矩阵的充分必要条件是AA'=E.

　　两边取行列式得|A||A'|=|E|.

　　A'是A的转置.E是单位矩阵.

　　所以|A'|=|A|,|E|=1

　　所以|A|^2=1.

　　当|A|=-1时.

　　|A+E|=|A+AA'|=|A(E+A')|=|A||E+A'|=|A||(E+A)'|=-|E+A|.

　　所以|A+E|=0.

　　所以-1是A的一个特征值

　　当|A|=1时且A为奇数阶,

　　|A-E|=|A-AA'|=|A(E-A')|=|A||E-A'|=|(E-A)'|=|E-A|

　　=|-(A-E)|=(-1)^n|A-E|=-|A-E|.

　　所以|A-E|=0.

　　所以1是A的一个特征值..