证明Xn=1+1/2+1/3+...+1/n无界

方宗德回答：

　　（这其实是个调和级数!）S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：

　　由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

　　=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

　　由于

　　limSn（n→∞）≥limln(n+1)（n→∞）=+∞

　　所以Sn的极限不存在,调和级数发散.

　　但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为

　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

　　=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

　　由于

　　limSn（n→∞）≥limln(1+1/n)（n→∞）=0

　　因此Sn有下界

　　而

　　Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

　　=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0

　　所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此

　　S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.

　　于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：

　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2