泰勒公式中关于佩亚诺余项的问题我看到书上写sinx=x-x3/6+o(x3),而且sinx=x-x3/6+o(x4)也成立,请问为什么两个都可以还有e的x2=1+x2+x4/2+o(x5)可以写为1+x2+x4/2+o(x4)吗?我想搞清楚的是

胡庆红回答：

　　sinx＝x－x3/6＋o(x3)和sinx＝x－x3/6＋o(x4)都可以.

　　因为sinx的泰勒公式的下一项是x5/5!,它比x3、x4都高阶,所以这个地方写o(x3)还是o(x4)都可以.

　　不过如果题目是让你写出sinx的泰勒公式,这个地方还是根据前面展开式的最后一项－x3/6决定使用o(x3).如果使用泰勒公式求极限,那么最后是用o(x3)还是o(x4)要根据题目决定.

　　类似地,e的x2＝1＋x2＋x4/2＋o(x5)和1＋x2＋x4/2＋o(x4)都可以.因为e的x2的泰勒公式的下一项是x6/6,比x4、x5都高阶.

　　一般地,如果一个函数f(x)展开到x^n,佩亚诺余项写作o(x^n).