【某人有n元钱,他每天买一次物品,每次买物品的品种很单调,用递推法解,某人有n元钱,他每天买一次物品,每次买物品的品种很单调,或者买一元钱的甲物品,或者买二元钱的乙物品,或者买二元钱】

苏慧回答：

　　设有An种方式

　　由A1=1,A2=3,An=An-1+2*An-2得

　　An=((1+根号5)/2)^2+((1-根号5)/2)^2(n>=1)

　　即为所求

　　（因为对于An,如果前一次买了甲,有An-1种方式,如果前一次买了乙或者丙,有2*An-2种方式）

蔡芳回答：

　　An的式子是怎么推出来的？

苏慧回答：

　　这个啊。。不好意思，首先要说的一点是我上面算的那个An是错的，请无视~~有两种方法：第一种比较快，是个经验公式（没有严格过程）：由An=An-1+2An-2得一个方程x^2=x+2解得x1=2，x2=-1设An=k(2^(n+1)-(-1)^(n+1))把A1=1，A2=3代入得k=1/3所以An=(2^(n+1)-(-1)^(n+1))/3（为什么设An等于那个东西我也不知道，完全是凑出来的，所以说最好不要用这个方法，除非你能确保算出来正好是对的）第二种：因为An-An-1=2An-2所以设An+(k-1)An-1=kAn-1+2An-2把它变成An+(k-1)An-1=k(An-1+2/kAn-2)让k-1=2/k，得k=2或-1取k=2，（当然取k=-1也行）得An+An-1=2(An-1+An-2)设Tn=An+An-1得Tn=2Tn-1Tn=2^(n-2)T2因为T2=A2+A1=3+1=4得Tn=2^n所以An+An-1=2^nAn=2^n-An-1An-1=2^(n-1)-An-2得An=2^n-2^(n-1)+An-2=2^(n-1)+An-2若n是奇数，An=2^(n-1)+2^(n-3)+...+2^2+A1=(2^(n+1)-1)/3若n是偶数，An=2^(n-1)+2^(n-3)+...+2^3+A2=(2^(n+1)+1)/3综合起来就是An=(2^(n+1)-(-1)^(n+1))/3